1966年高考数学试题(1966年高考试卷)

作者：教育资讯网 2024-07-19 17:39:55 668

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大家好！本文与大家分享一道1966年高考数学真题。这道题是当年数学试卷的第四题。考查了双曲线方程、双曲线基本性质、圆方程、圆弦长等知识。还有很多同学不知道这道题怎么解，下面我们就来看看这道题的解答。

我们先看第一个问题：求双曲线的焦点坐标。

公式16x^2-9y^2+64x+18y-89=0得到16(x+2)^2-9(y-2)^2=144，然后两边除以144得到(x+2)^2/9-(y-1)y^2/16=1。现在很多同学看到这个方程后，发现双曲线的中心不在原点，所以就不求它的焦点坐标了。

其实我们可以用平移的方法来解决问题，即根据向量(k,h)对曲线f(x,y)=0进行平移后，就可以得到曲线f(x-k)的图像，y-h)=0。

因此，题中的双曲线可以通过将双曲线x^2/9-y^2/16=1向左平移2个单位，然后向上平移1个单位得到，那么它的焦点也会以同样的方式平移，从而找到它的焦点坐标。

我们来看第二个问题：求圆的方程。下面介绍三种解决方案。

解法一：

由于本题双曲线的两个焦点都在圆上，所以求圆心必须在以焦点为端点的线段的垂直平分线上。由(1)可知垂直平分线的方程为x=-2，即圆心横坐标为-2。因此，圆的方程可设为(x+2)^2+(y-b)^2=r^2。

由于圆与x轴的两个交点之间的距离为8，所以我们可以从下图中得到：r^2=b^2+4^2=b^2+16。

又因为双曲线的焦点在圆上，所以圆心到其中一个焦点的距离等于圆的半径，即r=[(3+2)^2+(1-b)^2]。结合上面关于r和b的两个方程，我们可以解出b=5，r^2=41，从而找到圆的方程。

解法二：

设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

将双曲线两个焦点的坐标代入圆方程，可得(-7-a)^2+(1-b)^2=r^2和(3-a)^2+(1-b)^2=r^2，将两个方程相减，得到10(2a+4)=0，解为a=-2。

另外，圆与x轴的两个交点之间的距离为8，所以从第三张图中我们可以得到r^2=b^2+16。然后代入圆的方程，最后求解b和r的值即可得到圆的标准方程。

解法三：

设圆的方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。

由于双曲线两个焦点所在的直线与x轴平行，因此圆与x轴交点中点的横坐标等于双曲线两个焦点中点的横坐标双曲线，所以圆与x轴交点的中点横坐标为-2。两个交点之间的距离为8，所以可以得到两个交点的坐标为(-6，0),(2,0)。

并且双曲线的焦点也在圆上，然后选取三个点代入圆的方程中，从而得到关于D、E、F的方程组。通过求解方程组，可以得到圆的方程。

解：一般不建议用圆的标准方程来求解三列方程组，因为会出现三维二次方程组，求解起来比较困难。许多学生无法求解多元高阶方程组，导致失分。

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