复合系统与联合测量的区别(复合系统与联合测量系统区别)

一、张量积

张量积是两个向量空间的运算形成一个更大的向量空间。在量子力学中，量子态由希尔伯特空间中的单位向量描述。

令H1和H2分别为n1和n2维的希尔伯特空间。H1和H2的张量积是mn维希尔伯特空间H=H1

H2，对于H1中的每个向量|h1>和H2中的每个向量|h2>，H中存在唯一的向量|h1>

|h2>，H中的向量可表示为向量|h1>

|h2〉的线性叠加。它还必须满足以下基本属性：

对于任何|h1〉H1,|h2〉H2,和任何复数cC，我们有

对于任意编辑，任意|h2〉H2，我们有

对于任意|h1〉H1，任意编辑，有

|h1〉

|h2>通常缩写为|h1>|h2>、|h1,h2>或|h1h2>。

如果|i>和|j>分别是H1和H2的标准正交基，则|i>

|j〉是H=H1

H2的正交基。例如，有两个二维希尔伯特空间H1和H2，并且都有一组正交基{|0>，|1>}，那么H的正交基为{|00>，|01〉,|10〉,|11〉}。因此，H中任何给定的向量|>都可以表示为这组正交基的线性组合

在

。

假设A和B分别是H1和H2上的线性算子，则算子A

B作用于H中的任意向量

定义为

可以证明，这样定义A

B是H1

H2上的线性算子。

对于H中的两个任意向量

和

，这两个向量的内积定义为

还可以证明这个函数满足前面的内积定义。

这种表达形式的优点是比较简洁，缺点是不容易直观理解。下面给出线性算子张量积——克罗内克积（Kroneckerproduet）的矩阵表示的运算规则。设A为mn矩阵，B为pq矩阵。A

B的矩阵形式定义为

一个这里

B是mpmq矩阵，

表示矩阵A中第i行第j列元素乘以矩阵B。

例如，泡利矩阵

和

通过张量积生成的矩阵是

可以用反例来验证张量积不满足交换律。

可以看出

如何表达两个向量的张量积？事实上，在给定基下，向量的坐标表示也可以看成是一个特殊的矩阵。例如：矢量

标准正交基{|0〉,|1〉}下的矩阵表示分别为

和

。所以，

矩阵为

借助张量积，可以从子系统生成复合系统。

假设：复合物理系统的状态空间由子物理系统状态空间的张量积生成。也就是说，如果存在标记为1到n的系统，则第i个系统的状态为

，则整个系统生成的联合状态为

。

复合系统具有单量子系统所没有的另一个奇特现象是纠缠。在数学中

上，假设

，如果不存在

，制作

那么|>就被称为纠缠。否则，称|>不处于纠缠态。

例如，在两个量子位系统中，

处于纠缠状态。和

是非纠缠，这是因为

也可以分为

二、复合系统的状态演化

众所周知，两能级量子系统的状态是通过West变换演化的，那么复合系统的状态是如何随时间演化的呢？复合系统可以被视为子系统的跨度，因此以下假设可以解释复合系统中量子态的变化。

假设：复合系统中量子态的演化由与复合系统子系统中量子态演化对应的酉变换相对应的张量生成变换来描述。也就是说，如果存在一个标记为1到n的系统，则第i个系统在t1时刻的状态为

，则整个系统生成的联合状态为

为了

在t2时刻，通过酉变换

将第i个系统的状态演化为

然后在时间t2时，复合系统的状态发生变化

演变成

例如，复合系统H由两能级系统H1和H2组成。t1时刻，两个系统的状态均为|0>，则复合系统的状态为|00>；在时间t2时，系统首先经过

变得

本质上，复合系统中量子态的演化也是矩阵乘法。与单个子系统相比，它只是额外的张量乘积运算。