如何求三棱锥的体积(三棱锥计算体积公式)

作者：教育资讯网 2024-08-05 14:02:35 30

这两天，东北三省三所学校的学生们被要求做第一道模拟题。我也这么做了。做了之后才发现，因为疫情停课的影响确实很大。虽然以前我觉得做他们的题很难，但我还是勉强能做。这次我很难填补空白，所以我就呆在家里。确实用了很久也没用。

而且，这次疫情最大的影响就是提问的人变得更加变态了。他们真的很害怕每天和电子产品打交道的后果就是逐渐丧失人性。我终于把题目做完了，同学们也纷纷问了一些问题。我就挑一些问题来分析一下。我们先来看一道求三棱锥体积的题。如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED平面ABCD，FC平面ABCD，ED=2FC=2，则四面体A-BEF的体积为A.1/3B.2/3C.1D.4/3

如何求三棱锥的体积(三棱锥计算体积公式)

这道题并不难，但是有的同学做起来就卡住了，说明他们对这类题没有明确的目标和思路。我们总结一下如何分析这个问题：

1、首先我们需要分析四面体A-BEF的特性。每条边都很容易求，每个面的面积也能求出来。然而，不存在两个相互垂直的面，因此我们直接使用几何方法来求点到面的距离。难的；2.所以我们必须要考虑转型。常见的情况有两种：1、平行变换：若PA//平面BCD，则P、A到平面BCD的距离相等；2、比例变换：直线AB与a若平面相交于P点，则A、B点（不是P点）到平面的距离之比等于AP：BP。例如，在这道题中，可以通过F画一条与AB平行的线，并将F转换为DEG的中点：

G点到面ABE的距离就是G到AE的距离，此时将其转化为求三棱锥B-AEG和F-AGE的体积就更容易了，因为距离更容易求。也可以通过E画平行线AB，与CF延长线交于H，则转化为E-BFH的体积问题，本质上与上面相同。

还可以将延长线EF与DC相交延伸到M。显然E和M到平面ABF的距离相等，所以只需要求三棱锥体M-ABF的体积，即F-的体积ABM，也可以说是E-ABM的体积。一半。

上面的核心是绘制平行线或延长线，绘制涉及到多面体的拆解和修补。

在拆修时，有的三棱锥不需要计算面积和距离，直接用较大的减去较小的即可得到。例如，对边相等的三棱锥包含一个长方体，其体积是长方体的1/3。

3.如果上面的你还没有想到，那就用向量来找吧。在教科书中，使用向量方法求距离是可选的。看起来很吓人，但其实很简单。如图所示，我想求点P到平面的距离。PO，只需要PAcosAPO，APO实际上就是向量PA与平面的法向量形成的角度。如果是钝角，就写成它的补角。

例如，在上题中，建立空间直角坐标系如下：

则A(2,0,0),B(2,2,0),F(0,2,1),E(0,0,2)，可求平面ABF的法向量为(1,0,2)，然后求E到平面的距离。