平面方程的公式(平面方程写法)

作者：教育资讯网 2024-08-13 14:17:50 193

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公众号：渡口考研工作室科目：数学知识点：平面方程公众号：渡口考研工作室渡口提供最优质的课程和教材，提供经济学和数学同步辅导。今天介绍平面方程，考研足够了。

平面方程的公式(平面方程写法)

1.平面点French方程

含义：如果一个非零向量垂直于一个平面，则该向量称为该平面的法向量。

也就是说，平面上的任何向量都垂直于平面的法向量。

平面rame的属性'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x41F;'role='presentation'上点rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='M0(x0,y0,z0)'角色='演示'M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)及其法线向量之一rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n=(A,B,C)'role='presentation'n=(A,B,C)n=(A,B,C)当已知时，位置就完全确定了。接下来我们建立平面方程：

让rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='M(x,y,z)'role='presentation'M(x,y,z)M(x,y,z)是一个平面RAM'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x41F;'role='presentation'上的任意一点都是向量ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='M0M#x2192;'role='presentation'M0M\overrightarrow{M_{0}M}必须与平面rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x41F;'role='presentation'的法线向量ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n'role='presentation'nn垂直，即它们的数量乘积等于0

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n#x22C5;M0M#x2192;=0'角色='演示'nM0M=0n\cdot\overrightarrow{M_{0}M}=0\\

因为

rame'tabindex='0'data-mathml='n=(A,B,C)'role='presentation'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'n=(A,B,C)n=(A,B,C)\\rame'tabindex='0'data-mathml='M0M#x2192;=(x#x2212;x0,y#x2212;y0,z#x2212;z0)'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'M0M=(xx0,yy0,zz0)\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}\右）\\

rame'tabindex='0'data-mathml='A(x#x2212;x0)+B(y#x2212;y0)+C(z#x2212;z0)=0'角色='演示文稿'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\右)+C\左(z-z_{0}\右)=0\\

上式为平面方程。

示例问题是找到点(2,-3,0)和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n=(1,#x2212;2,3)'role='presentation'n=(1,2,3)n=(1,-2,3)是平面的方程法向量

解：根据平面、点法国方程

结果平面的方程为

rame'tabindex='0'data-mathml='(x#x2212;2)#x2212;2(y+3)+3z=0'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'(x2)2(y+3)+3z=0(x-2)-2(y+3)+3z=0\\

现在

rame'tabindex='0'data-mathml='x#x2212;2y+3z#x2212;8=0'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'x2y+3z8=0x-2y+3z-8=0\\

2.平面的一般方程

含义：存在三个变量的线性方程

rame'tabindex='0'data-mathml='Ax+By+Cz+D=0(1)'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'Ax+By+Cz+D=0(1)Ax+By+Cz+D=0(1)\\

我们随机选择一组满足方程ram'tabindex='0'style='font-size:100%;的数字；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x0,y0,z0,'role='演示'x0,y0,z0,x_{0},y_{0},z_{0}，即

rame'tabindex='0'data-mathml='Ax0+By0+Cz0+D=0'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'Ax0+By0+Cz0+D=0Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0\\

将上面两个方程相减，我们得到

rame'tabindex='0'data-mathml='A(x#x2212;x0)+B(y#x2212;y0)+C(z#x2212;z0)=0(2)'角色='演示文稿'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0(2)A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0(2)\\

其中，方程（1）称为平面的一般方程。其中rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x,y,z'role='presentation'x,y,zx,y,z的系数为平面rame的法向量'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n'role='presentation'nn的坐标。即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n='角色='演示'n=n=rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(A,B,C)'角色='演示'(A,B,C)(A,B,C)

方程式示例

rame'tabindex='0'data-mathml='3x#x2212;4y+z#x2212;9=0'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'3x4y+z9=03x-4y+z-9=0\\

代表一个平面，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n=(3,#x2212;4,1)'role='presentation'n=(3,4,1)n=(3,-4,1)是该平面的法向量。

示例问题要求rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='x'role='presentation'xx轴和点（4，平面方程-3，-1）。

解：因为平面穿过轴。因此它的法向量垂直于轴，所以法向量在轴上的投影为零，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A=0'role='presentation'A=0A=0;而由平面通过轴，则必须通过原点，所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='D=0。'角色='演示'D=0.D=0。

因此，该平面的方程可设为

rame'tabindex='0'data-mathml='By+Cz=0'role='presentation'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'By+Cz=0By+Cz=0\\

因为这个平面经过点(4,-3,-1)，所以我们有

rame'tabindex='0'data-mathml='#x2212;3B#x2212;C=0#x21D2;C=#x2212;3B'角色='演示'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'3BC=0C=3B-3B-C=0\RightarrowC=-3B\\

将其代入集合方程并除以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='B(B#x2260;0)'role='presentation'B(B0)B(B\neq0)，得到的平面方程为

rame'tabindex='0'data-mathml='y#x2212;3z=0'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'y3z=0y-3z=0\\