巴拿赫空间中的基本定理(巴拿赫空间定义)

作者：教育资讯网 2024-08-16 05:10:46 726

原标题：现代泛函分析的核心——巴纳赫空间

巴拿赫空间是数学中的一个重要概念。指完全赋范线性空间，即具有范数和度量完备性的线性空间。这意味着在这个空间中，任何柯西序列都有一个极限，并且这个极限也在这个空间中。

巴拿赫空间中的基本定理(巴拿赫空间定义)

Norm是用于测量向量大小的函数。一般来说，范数可以被认为是将向量映射到非负实数。度量完备性意味着度量空间中的柯西序列必须收敛到空间中的一点。更具体地说，当且仅当所有柯西序列都具有也在度量空间中的极限时，度量空间才是度量完备的。柯西序列是指在度量空间中，对于任何小的正数都存在一个自然数，使得序列中任意两项之间的距离都小于这个正数。换句话说，柯西序列是一个“逐渐收敛”的序列，虽然它可能没有明确的极限，但序列中任意两个元素之间的距离会逐渐变得越来越小。Banach空间既是向量空间又是度量空间。所以巴拿赫空间的研究就是线性代数和分析的混合物。但是，如果我们注意具有更多代数结构的巴拿赫空间，就会得到代数和分析的更复杂的混合物。特别是，虽然巴拿赫空间的任意两个元素都可以相加，而一般地不能相乘，但是有时候是可以的。一个同时具有乘法结构的向量空间称为一个代数，而如果这个向量空间还是巴拿赫空间，且它的乘法还有下面的性质，就称它为一个巴拿赫代数：对任意两个元素x和y，

这个名称并不反映历史现实，因为巴纳赫代数理论并不是巴纳赫发明的。称之为格尔凡德（IsraelMoiseevichGelfand，前苏联数学家）代数更为合适。

C*-代数是对合（involution）的巴拿赫代数。对合就是这样一个函数，它让每一个元z都对应于另一个元素x*，并使对于任意两个元素x和y都有以下的性质成立：的代码

C*代数的一个基本示例是由希尔伯特空间H上的所有连续线性映射T定义的代数B(H)。T|T|的范数定义为最小常数M，使得所有xH都具有|Tx|M|x|。对合将T转化为其伴随算子T*。伴随算子T*就是这样一个线性算子：对于H中任意两个元素x和y，(x,Ty)=(T*x,3)（可以证明恰好有一个算子具有这样的性质）。如果H是一个有限维空间，那么T可以被认为是一个nn矩阵，n是一个整数。此时，T*就是T的转置矩阵的复共轭。

希尔伯特空间是一个完全内积空间，即具有内积运算的向量空间，其中所有柯西序列都收敛到该空间中的一个向量。具体来说，希尔伯特空间是实数或复数的向量空间，其中定义了内积运算，即满足线性、对称性和正确定性的双线性函数。希尔伯特空间中的向量可以是有限维的，也可以是无限维的，其中无限维的情况更加重要和有趣。Gelfand和Neymark的基本定理指出，每个C*代数都可以表示为某个希尔伯特空间中B(H)的子代数。

出自：老废话科普返回搜狐查看更多