20度60度50度30度求角度(20度30度40度50三角形答案)

作者：教育资讯网 2024-07-15 12:22:16 387

学习阶段：初中数学、高中数学。

先修知识：平面纯几何、三角变换和解三角形。

20度60度50度30度求角度(20度30度40度50三角形答案)

最近在知乎上经常看到这个问题，在这里整理一下我的解决方案。

1.题目

如图1所示，已知角度已被标记。查找rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2220;BCD'角色='演示'BCD\角度BCD。

图1问题地图

2.题目正确性分析

需要找到的是角度，它对于平移和缩放是不变的。首先修复rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AB'role='presentation'ABAB边，并使rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='40#x2218;'角色='演示'4040^\circwithrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='20#x2218;'role='presentation'2020^\circ度角查找点ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='D'role='presentation'DD，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='30#x2218;'角色='演示'3030^\circwithrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='50#x2218;'role='presentation'5050^\circ角点查找点rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C'角色='演示文稿'CC，链接地址'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='CD'role='presentation'CDCD，此时每个角度都是固定的。因此，这是一个正确的问题。待确定的角度确实有一定的价值，并不是什么脑筋急转弯之类的。

但这个问题确实很难。仅仅通过角度关系是不可能解决的。您必须利用边角关系。接下来我会给出解三角形（高中）和纯几何（初中）的两种解法。

3.解三角形

设要找的角度为ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='#x03B8;'角色='演示'\theta，让rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AD=a,BD=b,CD=c'role='presentation'AD=a,BD=b,CD=cAD=a,\quadBD=b,\quadCD=c,获得自正弦定理

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='asin#x2061;20#x2218;=bsin#x2061;40#x2218;'角色='演示'asin20=bsin40\fraca{\sin20^\circ}=\fracb{\sin40^\circ}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='bsin#x2061;#x03B8;=csin#x2061;50#x2218;'角色='演示'bsin=csin50\fracb{\sin\theta}=\fracc{\sin50^\circ}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='csin#x2061;30#x2218;=asin#x2061;(40#x2218;#x2212;#x03B8;)'角色='演示'csin30=asin(40)\fracc{\sin30^\circ}=\fraca{\sin(40^\circ-\theta)}

将所有三个方程相乘得到

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;20#x2218;sin#x2061;#x03B8;sin#x2061;30#x2218;=sin#x2061;40#x2218;sin#x2061;50#x2218;sin#x2061;(40#x2218;#x2212;#x03B8;)'角色='演示'sin20sinsin30=sin40sin50sin(40)\sin20^\circ\sin\theta\sin30^\circ=\sin40^\circ\sin50^\circ\sin(40^\circ-\theta)

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='2sin#x2061;10#x2218;cos#x2061;10#x2218;sin#x2061;#x03B8;#x00D7;12=12sin#x2061;80#x2218;sin#x2061;(40#x2218;#x2212;#x03B8;)'角色='演示'2sin10cos10sin12=12sin80sin(40)2\sin10^\circ\cos10^\circ\sin\theta\times\frac12=\frac12\sin80^\circ\sin(40^\circ-\theta)

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='sin#x2061;10#x2218;sin#x2061;#x03B8;=12(sin#x2061;40#x2218;cos#x2061;#x03B8;#x2212;cos#x2061;40#x2218;sin#x2061;#x03B8;)'角色='演示'sin10sin=12(sin40coscos40sin)\sin10^\circ\sin\theta=\frac12(\sin40^\circ\cos\theta-\cos40^\circ\sin\theta)

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='2sin#x2061;10#x2218;=sin#x2061;40#x2218;cot#x2061;#x03B8;#x2212;cos#x2061;40#x2218;'角色='演示'2sin10=sin40cotcos402\sin10^\circ=\sin40^\circ\cot\theta-\cos40^\circ

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='cot#x2061;#x03B8;=2sin#x2061;10#x2218;+cos#x2061;40#x2218;sin#x2061;40#x2218;'角色='演示'cot=2sin10+cos40sin40\cot\theta=\frac{2\sin10^\circ+\cos40^\circ}{\sin40^\circ}

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='=2sin#x2061;10#x2218;+32cos#x2061;10#x2218;#x2212;12sin#x2061;10#x2218;12cos#x2061;10#x2218;+32sin#x2061;10#x2218;=3'角色='演示'=2sin10+32cos1012sin1012cos10+32sin10=3=\frac{2\sin10^\circ+\frac{\sqrt3}2\cos10^\circ-\frac12\sin10^\circ}{\frac12\cos10^\circ+\frac{\sqrt3}2\sin10^\circ}=\sqrt3

因此rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x03B8;=30#x2218;'角色='演示'=30\theta=30^\circ。

4.纯几何法

4.1来自@xyan的纯几何法

目前，这是我发现的解决此问题的最简洁的纯几何方法。

图2来自@xyan的纯几何方法如图2所示。延伸BD并与AC相交于E点；过C画AB垂线，垂脚为F；过D点画DP//AB，画ABP=40，DP与CF交于G点，连接CP。

容易知道四边形ABPD是等腰梯形，所以AD=BP。

易知ABD=BDP=DBP=20，故BP=DP=AD。

因为三条等腰线ABC合二为一，CF是AB和DP的对称轴，所以DG=DP/2，DGCF。

容易知道AEB=90，ED=AD/2（定理：与30角相对的直角边是斜边的一半。），所以ED=AD/2=DP/2=DG;又因为DEAC和DGCF，所以CD平分ACF，所以ACB分成的四个角都相等，各10，所以BCD=30。

4.2我原创的纯几何法

图3我原来的纯几何方法如图3所示，扩展rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='BD'角色='演示'BDBD交帧'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AC'角色='演示'ACACinrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='E'角色='演示'EE;对于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2220;ACB'role='presentation'ACB\angleACB的角平分线，交集ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AB'角色='演示'ABABinRame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='F'角色='演示'FF;超过ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='D'角色='演示'DDmakerame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='DG#x22A5;CF,DI#x22A5;AB'role='presentation'DGCF,DIABDG\botCF,DI\botAB，垂直脚为rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='G,I'role='presentation'G,IG,I;取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AD'role='presentation'ADAD中点为ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='H'角色='演示文稿'HH，链接地址'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='HI,HF'角色='演示'HI,HFHI,HF。

易智ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='ED=12AD=HI'role='presentation'ED=12AD=HIED=\frac12AD=HI（定理：与30角相对的直角边是斜边的一半。定理：斜边是斜边的一半），四边形ram'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='DIFG'role='presentation'DIFGDIFG是一个矩形，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='DG=IF'角色='演示'DG=IFDG=IF。

因为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='H'角色='演示'HH是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AD'角色='演示'ADAD中点，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='F'角色='演示文稿'FFisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AB'role='演示'ABAB中点，所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='HF//DB'role='presentation'HF//DBHF//DB,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x2220;HFI=20#x2218;'角色='演示'HFI=20\角度HFI=20^\circ。因为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x2220;DIH=#x2220;IDH=50#x2218;'role='presentation'DIH=IDH=50\angleDIH=\angleIDH=50^\circ,所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x2220;HIB=50#x2218;+90#x2218;=140#x2218;'role='presentation'HIB=50+90=140\angleHIB=50^\circ+90^\circ=140^\circ，获取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x2220;FHI=#x2220;HFI=20#x2218;'role='presentation'FHI=HFI=20\angleFHI=\angleHFI=20^\circ，然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='IF=IH=DG=DE'角色='演示'IF=IH=DG=DEIF=IH=DG=DE。

因为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='DE#x22A5;AC'角色='演示'DEACDE\botAC和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='DG#x22A5;CF'角色='演示'DGCFDG\botCF，所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='CD'角色='演示'CDCD二等分拉姆'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x2220;ECG'role='presentation'ECG\angleECG，所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x03B8;=12#x00D7;20#x2218;+20#x2218;=30#x2218;'角色='演示'=1220+20=30\theta=\frac12\times20^\circ+20^\circ=30^\circ。

5.总结

此类问题称为角格问题。一般是用几个整数角度来构造另一个整数角度，很多角度都不相同'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='30#x2218;45#x2218;60#x2218;'role='presentation'30,45,6030^\circ,45^\circ,60^\circ对于这种特殊的角度，很难找到边角关系。一般的解法是解三角形，计算难度较大，需要大量计算；而纯几何方法则更为优雅，但辅助线的构造难度较大，推理也较为复杂。